作业帮矩阵的秩的证明
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：政治作业 时间：2024/06/02 15:19:45
矩阵的秩的证明
不知道这样证明行不行,但这样理解绝对没问题.图片中最开始忘记说明了,那个a前系数即是矩阵A的的元素.再问： 是不是可以理解成对A做了有限次的初等变换，不改变其秩？如果是这样的话就是不太明白为什么必须左乘的是不线性相关的？
再答： 你可以将α向量组看成数的列向量，那么线性无关的向量组α相当于一个可逆矩阵，矩阵乘上可逆矩阵是不改变矩阵的秩的，如果向量组α不线性无关，那么它不可逆，因此矩阵A乘上后秩就有可能改变。（证明的时候不能这样，因为向量组不一定是数的列向量，但这样有助于理解），其实从我图片中的证明可以看出，矩阵A的列向量组与β向量组的线性关系完全等效。
再问： 能不能换种思路证明？易知β向量组的秩小于等于A的秩，能不能再证出A的秩小于等于β的秩？
再答： 能不能告诉我，你这个易知是怎么易知的？如果你把α当做数的列向量组从而易知的话,那么两边同时乘以α向量组所组成的矩阵的逆,就可以了（但是貌似不能这么证明吧）。
再问：
再答：
再问：
再答： 恩，其实如果向量组α（列向量组）是一组基的话，这么理解应该没问题，关键它不一定是一组基，因此它组成的矩阵就不一定是方阵，因此不存在可逆矩阵这一说，但根据我第二张图片，通过将它扩展为一组基，就是方阵了，就可以这么理解了。其实可以认为这是基向量组的一种扩展，我觉得可以这么理解。