作业帮判断函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(-1,1)上的单调性,给出证明.
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/04 08:34:11
判断函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(-1,1)上的单调性,给出证明.
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楼上的好复杂啊,没有那个必要哟!
f(x)＝x/(x^2-1)＝1/2×[1/(x-1)＋1/(x+1)]
函数y＝1/x在(－∞,0)∪(0,+∞)内单调减少,
所以1/(x-1),1/(x+1)在(-1,1)内单调减少,
所以函数f(x)在(-1,1)内单调减少
由定义也可以：
函数f (x)=x/x^2-1在区间（-1,1）上单调递减.
证明：设-1＜a＜b＜1
f(a)-f(b)=a/(a^2-1)-b/(b^2-1)
=(ab^2-a-ba^2+b)/(a^2-1)(b^2-1)
=(ab+1)(b-a)/(a^2-1)(b^2-1)
∵-1＜x＜1∴ ab+1＞0 a^2-1＜0 b-a＜0
∴ (ab+1)(b-a)＞0 (a^2-1)(b^2-1)
＞0
∴f(a)＞f(b) ∵a＜b
∴ 函数f (x)=x/x^2-1在区间（-1,1）上单调递减.
f(x)＝x/(x^2-1)＝1/2×[1/(x-1)＋1/(x+1)]
函数y＝1/x在(－∞,0)∪(0,+∞)内单调减少,
所以1/(x-1),1/(x+1)在(-1,1)内单调减少,
所以函数f(x)在(-1,1)内单调减少
由定义也可以：
函数f (x)=x/x^2-1在区间（-1,1）上单调递减.
证明：设-1＜a＜b＜1
f(a)-f(b)=a/(a^2-1)-b/(b^2-1)
=(ab^2-a-ba^2+b)/(a^2-1)(b^2-1)
=(ab+1)(b-a)/(a^2-1)(b^2-1)
∵-1＜x＜1∴ ab+1＞0 a^2-1＜0 b-a＜0
∴ (ab+1)(b-a)＞0 (a^2-1)(b^2-1)
＞0
∴f(a)＞f(b) ∵a＜b
∴ 函数f (x)=x/x^2-1在区间（-1,1）上单调递减.
判断函数f (x)=x/x^2-1在区间（-1,1）上的单调性,给出证明
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