已知定义域为R的函数f(x)=(-2^x+b)/[2^(x+1)+a]是奇函数.（1）求a、b的值；（2）若对任意的t∈

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/10 20:35:35

已知定义域为R的函数f(x)=(-2^x+b)/[2^(x+1)+a]是奇函数.（1）求a、b的值；（2）若对任意的t∈R,不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)＜0恒成立,求k的取值范围.

（1） ∵函数f(x)=(-2^x+b)/[2^(x+1)+a]是定义在R上的奇函数
∴f(0)=0,即f(0)=(-2^0+b)/[2^(0+1)+a]=(-1+b)/(2+a)=0
∴-1+b=0,得b=1
下面取特殊值求a,譬如取x=1
则f(1)=-f(-1),即(-2^1+1)/[2^(1+1)+a]=【-2^（-1）+1】/[2^(-1+1)+a],得a=2
∴f（x)=(-2^x+1)/[2^(x+1)+2]=1/(2^x+1)-1/2
由函数的单调性可得,该函数在定义域R上是单调递减函数
（2）∵对任意的t∈R,不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)＜0恒成立
∴f(t²-2t)＜-f(2t²-k),即f(t²-2t)＜f(-（2t²-k)）,f(t²-2t)＜f(-2t²+k）,
又∵该函数在定义域R上是单调递减函数
∴ t²-2t > -2t²+k ,即 3t²-2t -k > 0 恒成立
也就是说,函数3t²-2t -k 的函数值恒大于0,即方程3t²-2t -k =0没有实数根
△=（-2）² -4×3×（-k）