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已知函数f(x)=ln(1-x)-x/(x+1) (1)求f(x)最小值 (2) 若a>0 b>0 求证lna-lnb>

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/29 17:38:50
已知函数f(x)=ln(1-x)-x/(x+1) (1)求f(x)最小值 (2) 若a>0 b>0 求证lna-lnb>=1-b/a
(1)f(x)=ln(1-x)-x/(x+1)=ln(1-x)-1+1/(x+1),定义域x<1且x≠-1,f'(x)=1/(1-x)-1/(x+1)²=通分化简=x(x+3)/[(1-x)(1+x)²],由定义域可知导数分母恒正,0<x<1和x<-3时导数为正,-3<x<-1和-1<x<0时导数为负,x=-3或0时导数为0,故函数最小值为f(0)=0或f(-无穷)=ln(+无穷)-1=+无穷恒>0,故函数最小值为f(0)=0
(2)所以f(x)=ln(1-x)-x/(x+1)≥0,ln(1-x)≥x/(x+1)=1-1/(x+1)
a>0,b>0,则a/b>0,令a/b=1-x,则x=1-a/b,ln(a/b)=ln(1-x)≥1-1/(x+1)=1-1/(1-a/b+1)