求数学王子解高中数学关压轴题（有关椭圆和直线交点证明定值）!万分感谢（50分）!有详细过程加分!

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/29 17:33:32

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已知动直线L与椭圆C:x＾2／3＋y＾2／2＝1交于P（x1,y1）,Q（x2,y2）两个不同的点,且△OPQ的面积为2分之根号六,其中O为坐标原点.（1）证明：x1＾2＋x2＾2和y1＾2＋y2＾2均为定值（2）设线段PQ的中点为M,求｜OM｜＇｜PQ｜的最大值；

设直线方程是y＝kx＋m,代入椭圆方程化简得：（3k^2＋2）x^2＋6kmx＋3m^2－6＝0,则x1＋x2＝－6km/（3k^2＋2）,x1x2＝（3m^2－6）/（3k^2＋2）,|PQ|＝√（k^2＋1）√[（x1＋x2）^2－4x1x2]＝√（k^2＋1）√[24（3k^2－m^2＋2）]/（3k^2＋2）,设原点到直线PQ的距离是d,则d＝|m|/√（k^2＋1）,∴S（△OPQ）＝（1/2）|PQ|d＝（1/2）|m|√[24（3k^2－m^2＋2）]/（3k^2＋2）＝√6/2,化简得

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