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已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为2/3,且过点(3倍根号3,根号5),点A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/01 06:57:40
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为2/3,且过点(3倍根号3,根号5),点A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA垂直于PF.求:
(1)椭圆C的方程
(2)点P的坐标
(1)设方程:x²/a²+y²/b²=1
将点坐标代入
27/a²+5/b²=1(1)
c/a=2/3
令a=3t,c=2t,那么b²=a²-c²=5t²
代入(1)
27/9t²+5/5t²=1
t²=4
t=2
a=6,c=4,b=2√5
方程:x²/36+y²/20=1
点F(4,0)
A(-6,0)B(6,0)
设点P(6cost,2√5sint)
(2√5sint-0)/(6cost+6)*(2√5sint-0)/(6cost-4)=-1
20sin²t=-36cos²t+12cost-24
化简
14cos²t+3cost-11=0
(14cost-11)(cost+1)=0
cost=11/14或cost=-1(不合题意,舍去)
sint=5√3/14
点P(33/7,5√15/7)