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证明 实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的特征值都是正数

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 08:07:54
证明 实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的特征值都是正数
1.高等代数上有个定理：对于任意一个n级实对称矩阵A都存在一个n级正交矩 阵T,使T'AT成对角型,而对角线上的元素就是它的特征根.由此,开证,
（1）充分性：当对称矩阵A的特征根都为正数时,对角型矩阵T'AT对角线上的元素均为正数,所以T'AT为正定矩阵,又T为正交阵,所以A是正定阵.
（2）必要性：由于对称矩阵A是正定矩阵,所以存在一个正交矩阵T,使T'AT成对角型的对角线上的元素均为正值,而对角线上的元素又为A的所有特征值,即A的特征值均为正数.
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