作业帮概率论与数理统计（浙大第四版）的一个证明题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/31 01:00:22
概率论与数理统计（浙大第四版）的一个证明题
设f(x）,g(x)都是概率密度函数,求证 h(x) = af(x) + (1 - a)g(x) 也是一个概率密度函数.其中0
设f(x）,g(x)都是概率密度函数,求证 h(x) = af(x) + (1 - a)g(x) 也是一个概率密度函数.其中0
因为f(x）,g(x)都是概率密度函数,
所以有：
f(x)≥0,g(x)≥0
因为0≤a≤1
所以：h(x)≥0
又有：
∫(-∞,+∞)f(x)dx=∫(-∞,+∞)g(x)dx=1
所以：
∫(-∞,+∞)h(x)dx
=∫(-∞,+∞)[af(x)+(1-a)g(x)]dx
=a∫(-∞,+∞)f(x)dx+(1-a)∫(-∞,+∞)g(x)dx
=a+(1-a)
=1
所以h(x)=af(x)+(1-a)g(x)也是一个概率密度函数.
所以有：
f(x)≥0,g(x)≥0
因为0≤a≤1
所以：h(x)≥0
又有：
∫(-∞,+∞)f(x)dx=∫(-∞,+∞)g(x)dx=1
所以：
∫(-∞,+∞)h(x)dx
=∫(-∞,+∞)[af(x)+(1-a)g(x)]dx
=a∫(-∞,+∞)f(x)dx+(1-a)∫(-∞,+∞)g(x)dx
=a+(1-a)
=1
所以h(x)=af(x)+(1-a)g(x)也是一个概率密度函数.