在△ABC中,若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/29 02:59:48
在△ABC中,若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)
(1)判断△ABC的形状
(2)在上述三角形中,若角C的对边c=1,求该三角形内切圆半径的取值范围
(1)判断△ABC的形状
(2)在上述三角形中,若角C的对边c=1,求该三角形内切圆半径的取值范围
(1)方法一
根据正弦定理,原式可变形为:
c(cosA+cosB)=a+b.①
∵ 根据任意三角形射影定理(又称“第一余弦定理”):
a=b·cosC+c·cosB
b=c·cosA+a·cosC
∴ a+b=c(cosA+cosB)+cosC(a+b).②
由于a+b≠0,故由①式、②式得:
cosC=0
因此,在△ABC中,∠C=90°.
方法二:
即a+b=c(cosA+cosB)=(c^2+b^2-a^2)/(2b)+(c^2+a^2-b^2)/(2a)
也就是2a+2b=c^2(1/b+1/a)+a+b-(a^2/b+b^2/a)
两边同时约去a+b得
2=c^2/ab+1-(a^2+b^2-ab)/ab
即c^2=a^2+b^2
C为90°
(2)∵c^2=a^2+b^2=1
S△ABC=(a+b+c)r/2=ab/2
r=ab/(a+b+c)=ab/(a+b+1)
令a=sina,b=cosa,0<a<π/2
r=sinacosa/(1+sina+cosa)
=[(sina+cosa)^2-1]/2(1+sina+cosa)
=(sina+cosa-1)/2
=√2/2*sin(a+π/4)-1/2
∵0<a<π/2,∴π/4<a+π/4<3π/4
∴√2/2<sin(a+π/4)≤1
∴0<r≤(√2-1)/2
根据正弦定理,原式可变形为:
c(cosA+cosB)=a+b.①
∵ 根据任意三角形射影定理(又称“第一余弦定理”):
a=b·cosC+c·cosB
b=c·cosA+a·cosC
∴ a+b=c(cosA+cosB)+cosC(a+b).②
由于a+b≠0,故由①式、②式得:
cosC=0
因此,在△ABC中,∠C=90°.
方法二:
即a+b=c(cosA+cosB)=(c^2+b^2-a^2)/(2b)+(c^2+a^2-b^2)/(2a)
也就是2a+2b=c^2(1/b+1/a)+a+b-(a^2/b+b^2/a)
两边同时约去a+b得
2=c^2/ab+1-(a^2+b^2-ab)/ab
即c^2=a^2+b^2
C为90°
(2)∵c^2=a^2+b^2=1
S△ABC=(a+b+c)r/2=ab/2
r=ab/(a+b+c)=ab/(a+b+1)
令a=sina,b=cosa,0<a<π/2
r=sinacosa/(1+sina+cosa)
=[(sina+cosa)^2-1]/2(1+sina+cosa)
=(sina+cosa-1)/2
=√2/2*sin(a+π/4)-1/2
∵0<a<π/2,∴π/4<a+π/4<3π/4
∴√2/2<sin(a+π/4)≤1
∴0<r≤(√2-1)/2
在△ABC中,若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)
在△ABC中,若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB).
在△ABC中,若sinA+sinB=sinC•(cosA+cosB),试判断△ABC的形状.
在三角形ABC中,若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB).判断三角形ABC的形状;
在三角形ABC中,sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB).问三角形ABC形状
△ABC中,若sinC(cosA+cosB)=sinA+sinB,求∠C
在△ABC中,当sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)试判断△ABC的形状,
在锐角△ABC中,求证:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
在三角形ABC中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,则cosA:cosB:cosC=?
在三角形ABC中 sinA:sinB:sinC=4:5:6 则cosA:cosB:cosC
在三角形ABC中,已知sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB),判断三角形形状.
在三角形ABC中,求证sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2.