高等代数 线性变换A^2=E,证明A可对角化
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/10 14:05:42
高等代数 线性变换A^2=E,证明A可对角化
只需证明A的特征向量中能够选出n为向量空间的一组基:(不妨设A是n行n列的)
首先设λ是A的特征值,那么λ^2是A^2的特征值,
∴(A^2)ξ=λ^2*ξ=Eξ=ξ
∴λ^2=1
∴λ=±1
∴A只有特征根±1
先找到1所对应的一组线性无关向量特征向量:
就是满足:Aξ=ξ的一组线性无关向量
也就是(A-E)ξ=0
很显然解空间的维数是:n1=n-rank(A-E)
∴可以从中选出n1个线性无关的特征向量.
在考虑以-1为特征根的特征向量:
也就是Aξ=-ξ
∴(A+E)ξ=0
显然解空间的维数是:n2=n-rank(A+E)
∴可以从中选出n2个线性无关的向量.
现在n1+n2=2n-rank(A+E)-rank(A-E)
现在只需要证明:rank(A+E)+rank(A-E)=n
这一步的证明并不难:先证明rank(A+E)+rank(A-E)≥n
这是因为A^2=E∴detA=±1∴A可逆∴rankA=n
而又∵rankA+rankB≥rank(A|B)≥rank(A+B)
∴rank(A+E)+rank(A-E)≥rank2A=rankA=n
再证明rank(A+E)+rank(A-E)≤n
∵(A+E)(A-E)=A^2-E^2=0
∴A-E的列空间是(A+E)X=0的解空间的子空间
又∵A+E的解空间的维数是n-rank(A+E)
∴rank(A-E)≤n-rank(A+E)
∴rank(A-E)+rank(A+E)≤n
综上所述:rank(A+E)+rank(A-E)=n
∴n1+n2=n
∴n维线性空间有一组A的特征向量组成的基.
∴A可对角化
显然去上面的满足Aξ=ξ的n1个线性无关向量,取Aξ=-ξ的n2个线性无关向量
加起来总共n个,将他们以列向量的形式排成一个n阶方阵T,
∵其列秩为n
∴可逆
∴T^(-1)AT=diag(1,1,…,-1,-1)
首先设λ是A的特征值,那么λ^2是A^2的特征值,
∴(A^2)ξ=λ^2*ξ=Eξ=ξ
∴λ^2=1
∴λ=±1
∴A只有特征根±1
先找到1所对应的一组线性无关向量特征向量:
就是满足:Aξ=ξ的一组线性无关向量
也就是(A-E)ξ=0
很显然解空间的维数是:n1=n-rank(A-E)
∴可以从中选出n1个线性无关的特征向量.
在考虑以-1为特征根的特征向量:
也就是Aξ=-ξ
∴(A+E)ξ=0
显然解空间的维数是:n2=n-rank(A+E)
∴可以从中选出n2个线性无关的向量.
现在n1+n2=2n-rank(A+E)-rank(A-E)
现在只需要证明:rank(A+E)+rank(A-E)=n
这一步的证明并不难:先证明rank(A+E)+rank(A-E)≥n
这是因为A^2=E∴detA=±1∴A可逆∴rankA=n
而又∵rankA+rankB≥rank(A|B)≥rank(A+B)
∴rank(A+E)+rank(A-E)≥rank2A=rankA=n
再证明rank(A+E)+rank(A-E)≤n
∵(A+E)(A-E)=A^2-E^2=0
∴A-E的列空间是(A+E)X=0的解空间的子空间
又∵A+E的解空间的维数是n-rank(A+E)
∴rank(A-E)≤n-rank(A+E)
∴rank(A-E)+rank(A+E)≤n
综上所述:rank(A+E)+rank(A-E)=n
∴n1+n2=n
∴n维线性空间有一组A的特征向量组成的基.
∴A可对角化
显然去上面的满足Aξ=ξ的n1个线性无关向量,取Aξ=-ξ的n2个线性无关向量
加起来总共n个,将他们以列向量的形式排成一个n阶方阵T,
∵其列秩为n
∴可逆
∴T^(-1)AT=diag(1,1,…,-1,-1)
高等代数 线性变换A^2=E,证明A可对角化
高等代数 可对角化线性变换的问题
证明题:设A为n阶矩阵,且A^2-A=2E.证明A可对角化.
设n阶矩阵A满足A^2-3A+2E=0,证明A可相似对角化.
已知n阶方阵A满足A^2+2A-3E=0,证明A可对角化
高等代数,线性变换定义线性变换A(X)=(a b c d)X,求A在E11,E12,E21,E22下的矩阵.为什么A(E
AB=BA A B 都可对角化,证明A+B可对角化
矩阵A的特征值都为正负一,且可相似对角化,证明A^2=E
方阵A满足A^2+A-I=0,证明:A可对角化
已知矩阵A可对角化,证明A的伴随矩阵也可对角化
高等代数矩阵的对角化习题
矩阵A (A-aI)(A-bI)=0 证明A可对角化