在平面直角坐标系中,点A（10,0）,以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆圆周上的一动点

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/30 22:45:31

在平面直角坐标系中,点A（10,0）,以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆圆周上的一动点
如图,在平面直角坐标系中,点A（10,0）,以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连接OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连接CF．
（1）当∠AOB=30°时,求弧AB的长度；
（2）当DE=8时,求线段EF的长；
（3）在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标；若不存在,请说明理由．

（1）连结BC,
∵A（10,0）,∴OA=10 ,CA=5,
∵∠AOB=30°,
∴∠ACB=2∠AOB=60°,
∴弧AB的长= ;
（2）连结OD,
∵OA是⊙C直径,∴∠OBA=90°,
又∵AB=BD,
∴OB是AD的垂直平分线,
∴OD=OA=10,
在Rt△ODE中,
OE= ,
∴AE=AO－OE=10-6=4,
由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA,
得△OEF∽△DEA,
∴ ,即 ,∴EF=3
（3）设OE=x,
①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,点E为OC中点,即OE= ,
∴E1（ ,0）；
当∠ECF=∠OAB时,有CE=5-x,AE=10-x,
∴CF∥AB,有CF= ,
∵△ECF∽△EAD,
∴ ,即 ,解得：,
∴E2（ ,0）;
②当交点E在点C的右侧时,
∵∠ECF＞∠BOA,
∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,
连结BE,
∵BE为Rt△ADE斜边上的中线,
∴BE=AB=BD,
∴∠BEA=∠BAO,
∴∠BEA=∠ECF,
∴CF∥BE,∴ ,
∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,
∴△CEF∽△AED,∴ ,
而AD=2BE,∴ ,
即 ,解得 ,＜0（舍去）,
∴E3（ ,0）;
③当交点E在点O的左侧时,
∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF .
∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO
连结BE,得BE= =AB,∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA,
∴CF∥BE,
∴ ,
又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,
∴△CEF∽△AED,∴ ,
而AD=2BE,∴ ,
∴ ,解得 ,＜0（舍去）,
∵点E在x轴负半轴上,∴E4（ ,0）,
综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为：
（ ,0）、（ ,0）、（ ,0）、（ ,0）．
再问：我用的方法一样，能把最后答案给我吗