L为取正向的圆周,x^2+y^2=R^2,求曲线积分∮xy^2dy-x^2ydx的值（答案是πR^4/2）

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/03 01:24:56

L为取正向的圆周,x^2+y^2=R^2,求曲线积分∮xy^2dy-x^2ydx的值（答案是πR^4/2）
下面是某网友的解答：
xy^2=Q(x)
-x^2ydx=P(x)
利用格林公式
∮xy^2dy-x^2ydx=二重积分(dQ/dx-dp/dy)dxdy=二重积分(x^2+y^2)dxdy=R^2二重积dxdy=R^2*πR^2/2
=πR^4/2 因为取得正向圆周,所以二重积dxdy=圆面积的一半.
我的问题是：为什么面积取一半?

因为取格林公式后,由线积分变成面积分,二重积分(x^2+y^2)dxdy,(x^2+y^2)不能用圆周方程
x^2+y^2=R^2替换,因为不在线上一重积分了,改为在圆面上二重积分了,应该用极坐标计算,r^2.rdr积分再乘以2pi.

L为取正向的圆周,x^2+y^2=R^2,求曲线积分∮xy^2dy-x^2ydx的值（答案是πR^4/2）求曲线积分fxy^2dy-x^2ydx其中L为圆周x^2+y^2=a^2的正向, 设L为取正向的圆周x²+y²=9,求曲线积分∮（2xy-2y）dx+(x²-4x)dy的值设L为取正向的圆周x2+y2=9，则曲线积分∮L（2xy-2y）dx+（x2-4x）dy=______．求曲线积分fxy^2dy-x^2ydx其中L为圆周x^2+y^2=a^2(a>0)取逆时针方向! 求曲线积分fxy^2dy-x^2ydx其中L为圆周x^2+y^2=a^2的正方向为什么我算出来是pai*a的4次.和答如题：设L是由曲线y^3=x^2与直线y=x连接起来的正向闭曲线,计算 (x^2)ydx+y^2dy的曲线积分(积分符号求曲线积分∫c xy^2dy-x^2ydx ,其中C是x^2+y^2=4的上半圆沿逆时针方向求过程谢谢计算∫L(x^2-2y)dx+(x+y^2siny)dy,其中L是圆周x^2+y^2=2x的正向曲线, 应用格林公式求∫xy^2dy-x^2ydx,其中L是上半圆周x^2+y^2=a从（a,0）到（-a,0）的一段. 设L为逆时针方向的圆周x^2y^2=9则曲线积分∫L（e^(x-y)+xy）dx+(siny+e^(x-y))dy=? 设L为取正向圆周的X^2+Y^2=1,求∫（-y）dx+xdy