作业帮.一道隐函数、复合函数的微分的题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/02 14:01:30
.一道隐函数、复合函数的微分的题
如果根据复合函数偏导的链式法则,分出F对y和t的偏导,y又分出对x和t的偏导,但t又等与t(x,y), 这又出现了对y的偏导,换句话说就是出现了一个环.
换句话,什么情况下求偏导时把变量看成一个常量,什么时候看成变量而使用链式法则啊?
.....
我错了各位.......老师说这个答案是错的......-.-||
如果根据复合函数偏导的链式法则,分出F对y和t的偏导,y又分出对x和t的偏导,但t又等与t(x,y), 这又出现了对y的偏导,换句话说就是出现了一个环.
换句话,什么情况下求偏导时把变量看成一个常量,什么时候看成变量而使用链式法则啊?
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我错了各位.......老师说这个答案是错的......-.-||
得到环是正常的,关键是要明白构成环的这几个函数以及偏导数之间是什么样的关系.
现在有两个方程t=t(x,y)与y=f(x,t),两个方程联立得到一个只有变量x,y的方程y=f(x,t(x,y)),在一定条件下,此方程可以确定一元隐函数y=y(x),题目要求的就是这个隐函数的导数.
把这个方程带回t=t(x,y)得出结论：t是x的一元函数.
求dy/dx,则在y=f(x,t)两边对x求导：dy/dx=fx+ft×dt/dx.在F(x,y,t)=0两边对x求导,得Fx+Fy×dy/dx+Ft×dt/dx=0.两个式子联立消去dt/dx即得dy/dx
再问： 恩....如果三个函数对三个变量的偏导都是已知量的话，只用一个y=f(x,t(x,y))就可以算出结果了？加上t=t(x,y)又可以以另一种形式写出结果？再加上F又是一种？结果可以是很多种？？
再答： 其中t=t(x,y)与F(x,y,t)=0是一回事，两个写法而已。 这个题目完全就是两个函数、三个变量的方程组确定的隐函数的导数问题，这个在高数教材上都有详细的介绍与例题，套公式也行，直接求也行。 我再给你分析一下吧：方程组F(x,y,t)=0，y=f(x,t)里面有三个变量，两个函数，根据隐函数的存在定理，这个方程组可以确定两个一元隐函数，既然题目要求dy/dx，也就是自变量选为x了，y是一个因变量，剩下的t自然也是因变量了。 现在用直接求导的方法，两个方程两边都对x求导： F1＋F2×dy/dx＋F3×dt/dx=0 f1＋f2×dt/dx＝dy/dx 消去dt/dx即可得dy/dx＝(f1×F3－F1×f2)/(F2×f2＋F3)。 我认为你给出的答案并不好，不管对错，题目告诉我们的是f,F可微，这是已知的函数，而t=t(x,y)想必其具体解析式未必可知(可能只是说明了t=t(x,y)这样的隐函数存在)，最后的答案用f,F的偏导数表示才是正解。你的答案中的t1,t2还可以用F的偏导数表示，有进一步化简的空间。
现在有两个方程t=t(x,y)与y=f(x,t),两个方程联立得到一个只有变量x,y的方程y=f(x,t(x,y)),在一定条件下,此方程可以确定一元隐函数y=y(x),题目要求的就是这个隐函数的导数.
把这个方程带回t=t(x,y)得出结论：t是x的一元函数.
求dy/dx,则在y=f(x,t)两边对x求导：dy/dx=fx+ft×dt/dx.在F(x,y,t)=0两边对x求导,得Fx+Fy×dy/dx+Ft×dt/dx=0.两个式子联立消去dt/dx即得dy/dx
再问： 恩....如果三个函数对三个变量的偏导都是已知量的话，只用一个y=f(x,t(x,y))就可以算出结果了？加上t=t(x,y)又可以以另一种形式写出结果？再加上F又是一种？结果可以是很多种？？
再答： 其中t=t(x,y)与F(x,y,t)=0是一回事，两个写法而已。 这个题目完全就是两个函数、三个变量的方程组确定的隐函数的导数问题，这个在高数教材上都有详细的介绍与例题，套公式也行，直接求也行。 我再给你分析一下吧：方程组F(x,y,t)=0，y=f(x,t)里面有三个变量，两个函数，根据隐函数的存在定理，这个方程组可以确定两个一元隐函数，既然题目要求dy/dx，也就是自变量选为x了，y是一个因变量，剩下的t自然也是因变量了。 现在用直接求导的方法，两个方程两边都对x求导： F1＋F2×dy/dx＋F3×dt/dx=0 f1＋f2×dt/dx＝dy/dx 消去dt/dx即可得dy/dx＝(f1×F3－F1×f2)/(F2×f2＋F3)。 我认为你给出的答案并不好，不管对错，题目告诉我们的是f,F可微，这是已知的函数，而t=t(x,y)想必其具体解析式未必可知(可能只是说明了t=t(x,y)这样的隐函数存在)，最后的答案用f,F的偏导数表示才是正解。你的答案中的t1,t2还可以用F的偏导数表示，有进一步化简的空间。