已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=2x，若不等式af（x）+g（2x）≥0对x∈（0

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/11 08:01:26

已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=2^x，若不等式af（x）+g（2x）≥0对x∈（0，1]恒成立，则实数a的取值范围是 ___ ．

∵f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
又∵由f（x）+g（x）=2^x，结合f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=2^-x，
∴f（x）=
1
2（2^x-2^-x），g（x）=
1
2（2^x+2^-x）
不等式af（x）+g（2x）≥0，化简为
a
2(2x-2 -x) +
1
2(2 2x+2-2x) ≥0
∵0＜x＜1
∴0＜2^x＜2-2^-x＜1
因此将上面不等式整理，得：a≥-
22x+2-2x
2x-2-x=-
(2x-2-x) 2+2
2x-2-x
令t=2^x-2^-x，则t＞0
∴-
(2x-2-x) 2+2
2x-2-x=-(t+
2
t)≤ -2
2
因此，实数a的取值范围是a≥- 2
2
故答案为[-2
2，+∞)