（2007•长宁区一模）如图，在直角坐标系中有一个半径为r的圆A，圆心A在x轴的正半轴上，从坐标原点O向圆A作切线，切点

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/03 02:47:51

（2007•长宁区一模）如图，在直角坐标系中有一个半径为r的圆A，圆心A在x轴的正半轴上，从坐标

原点O向圆A作切线，切点是B．
（1）如果OB＝3

（1）AB=r，OB＝3
3，OA=r+3，
∵OB与圆A相切，
∴AB⊥BO，
∴∠ABO=90°，
在Rt△OAB中，OA²=AB²+OB²，
∴(r+3)2＝r2+(3
3)2，
∴r=3，
∴A（6，0），
∴sin∠AOB＝
AB
OA＝
1
2，

（2）如图，取OA的中点D，过点D作OA的垂线，交OB于点C，连接AC，
∵DC是OA的垂直平分线，
∴OC=AC，
∴∠COA=∠CAO=α，
∴∠ACB=∠AOC+∠CAO=2α．

（3）由（1）可知∠B=90°，
∴在Rt△ABO中sinα＝
AB
OA，cosα＝
OB
OA，
由（2）可知DC⊥OA，
∴∠CDO=90°在Rt△ABC中sin2α＝
AB
AC，
在Rt△ABO和Rt△CDO中，∠O=∠O，∠CDO=∠B，
∴△ABO∽△CDO，
∴
OD
OB＝
OC
OA，
∴OC＝
OD•OA
OB，
∵OD＝
1
2OA，且OC=AC，
∴AC＝

1
2OA•OA
OB＝
OA2
2OB，
∴sin2α＝
AB
AC＝
AB

OA2
2OB＝
2OB•AB
OA2＝2•
OB
OA•
AB
OA=2cosα•sinα．