N=19991999...1999(1999个1999)被11除,余数为多少
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/29 06:49:59
N=19991999...1999(1999个1999)被11除,余数为多少
假设m为任意正整数
则:10^(4m)-1=999...99 (共4m个9) =9 * 111...11 (共4m个1)
=9*(11*10^(4m-2) +11*10^(4m-4) +11*10^(4m-6) +...+11)
=9*11*(10^(4m-2) +10^(4m-4) + 10^(4m-6) +...+1)
所以:10^(4m)-1能被11整除
而:
N=19991999...1999(1999个1999)
=1999*(1+10^4+10^(2*4)+10^(3*4)+...10^(1998*4))
=1999*[(10^4-1) + (10^(2*4)-1) + (10^(3*4)-1) +...+ (10^(1998*4)-1)] + 1999*(1+1+1+...+1+1)
其中第二项1999*(1+1+1+...+1+1)中的括号内共有1999个1
=1999*[(10^4-1) + (10^(2*4)-1) + (10^(3*4)-1) +...+ (10^(1998*4)-1)] + 1999^2
显然,第一项1999*[(10^4-1) + (10^(2*4)-1) + (10^(3*4)-1) +...+ (10^(1998*4)-1)]能被11整除,
所以,我们只须看1999^2被11除的余数
1999^2=(181*11+8)^2
=(181*11)^2+2*8*(181*11)+8^2
=(181*11)^2+2*8*(181*11)+5*11+9
所以:1999^2被11除的余数为9
所以:N被11除,余数为9
则:10^(4m)-1=999...99 (共4m个9) =9 * 111...11 (共4m个1)
=9*(11*10^(4m-2) +11*10^(4m-4) +11*10^(4m-6) +...+11)
=9*11*(10^(4m-2) +10^(4m-4) + 10^(4m-6) +...+1)
所以:10^(4m)-1能被11整除
而:
N=19991999...1999(1999个1999)
=1999*(1+10^4+10^(2*4)+10^(3*4)+...10^(1998*4))
=1999*[(10^4-1) + (10^(2*4)-1) + (10^(3*4)-1) +...+ (10^(1998*4)-1)] + 1999*(1+1+1+...+1+1)
其中第二项1999*(1+1+1+...+1+1)中的括号内共有1999个1
=1999*[(10^4-1) + (10^(2*4)-1) + (10^(3*4)-1) +...+ (10^(1998*4)-1)] + 1999^2
显然,第一项1999*[(10^4-1) + (10^(2*4)-1) + (10^(3*4)-1) +...+ (10^(1998*4)-1)]能被11整除,
所以,我们只须看1999^2被11除的余数
1999^2=(181*11+8)^2
=(181*11)^2+2*8*(181*11)+8^2
=(181*11)^2+2*8*(181*11)+5*11+9
所以:1999^2被11除的余数为9
所以:N被11除,余数为9
有多少个自然数除200,余数为8
已知69、90、125、被N除,余数相同(不为0),那么81被N除余数是______.
设n表示任意一个整数,用含n的代数式表示,被n除商为3,余数为5的数(n大于5)?急
某数在200~300之间,被8除余数为5,被6除余数为3,为15除余数为12,请问该数为多少?
被6、7、8、9除余数都是4的四位数一共有多少个?
被7除余数是1的三位数共有多少个?
有多少个自然数除732余数是12?
(奥数)已知69、90、125被N除同余,81被N除的余数是几?
设数列{an}:a0=2,a1=16,an+2=16an+1-63an,n∈N*,则a2005被64除的余数为( )
2007除以正整数n,余数为7,这个正整数有多少个
5^n+C(n,1)5^(n-1)+C(n,2)5^(n-2)+.C(n,n-1)5 被7除所得的余数
任取12个自然数,至少有几个自然数被11除的余数相同