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(2002•山西)已知:如图,A是⊙O1、⊙O2的一个交点,点M是O1O2的中点,过点A的直线BC垂直于MA,分别交⊙O

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/01 07:25:39
(2002•山西)已知:如图,A是⊙O1、⊙O2的一个交点,点M是O1O2的中点,过点A的直线BC垂直于MA,分别交⊙O1、⊙O2于B、C.
(1)求证:AB=AC;
(2)若O1A切⊙O2于点A,弦AB、AC的弦心距分别为dl、d2,求证:d1+d2=O1O2
(3)在(2)条件下,若d1d2=1,设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r,求证:R2+r2=
(R
证明:(1)分别作O1D⊥AB于点D,O2E⊥AC于点E.
则AB=2AD,AC=2AE.
∵O1D∥AM∥O2E,
∵M为O1O2的中点,
∴AD=AE,AB=AC.

(2)∵O1A切⊙O2于点A,
∴O1A⊥O2A,
又∵M为O1O2的中点,O1O2=2AM
在梯形O1O2ED中,
∵AM为梯形的中位线,O1D+O2E=2AM,
∴O1D+O2E=O1O2
即d1+d2=O1O2

(3)∵O1A⊥O2A,
∴∠AO1D=∠O2AE,
∴Rt△O1AD∽Rt△AO2E.

AD
O2E=
O1D
AE=
O1A
O2A,

AD
d2=
d1
AE=
R
r.
∴AD•AE=d1•d2=1.
即由(1)(2)知,AD=AE=1,O1O2=d1+d2
∴d1=
R
r,d2=
r
R,
∴R2+r2=O1O22=(d1+d22=(
R
r+
r
R)2=
(R2+r2)2
R2r2.