（2002•山西）已知：如图，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点M是O1O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/01 09:26:48

（2002•山西）已知：如图，A是⊙O₁、⊙O₂的一个交点，点M是O₁O₂的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O₁、⊙O₂于B、C．
（1）求证：AB=AC；
（2）若O₁A切⊙O₂于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d_l、d₂，求证：d₁+d₂=O₁O₂；
（3）在（2）条件下，若d₁d₂=1，设⊙O₁、⊙O₂的半径分别为R、r，求证：R²+r²=

证明：（1）分别作O₁D⊥AB于点D，O₂E⊥AC于点E．
则AB=2AD，AC=2AE．
∵O₁D∥AM∥O₂E，
∵M为O₁O₂的中点，
∴AD=AE，AB=AC．

（2）∵O₁A切⊙O₂于点A，
∴O₁A⊥O₂A，
又∵M为O₁O₂的中点，O₁O₂=2AM
在梯形O₁O₂ED中，
∵AM为梯形的中位线，O₁D+O₂E=2AM，
∴O₁D+O₂E=O₁O₂，
即d₁+d₂=O₁O₂．

（3）∵O₁A⊥O₂A，
∴∠AO₁D=∠O₂AE，
∴Rt△O₁AD∽Rt△AO₂E．
∴
AD
O2E=
O1D
AE=
O1A
O2A，
即
AD
d2=
d1
AE=
R
r．
∴AD•AE=d₁•d₂=1．
即由（1）（2）知，AD=AE=1，O₁O₂=d₁+d₂，
∴d₁=
R
r，d₂=
r
R，
∴R²+r²=O₁O₂²=（d₁+d₂）²=（
R
r+
r
R）²=
(R2+r2)2
R2r2．

已知,如图所示,A是圆O1,O2的一个交点,点P是O1O2的中点.过点A的直线MN垂直于PA,交圆O1,O2于M,N.求如图,⊙O1和⊙O2是等圆,M是O1O2的中点,过M作直线AD交⊙O1于A,B交⊙O2于C,D.求证AB=CD;AM=M 如图,⊙O1和⊙O2是等圆,M是O1O2的中点,过M作直线AD交⊙O1于A,B,交⊙O2于C,D.求证AB=CD;AM= 如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连接AB并延长交⊙O2于点C，连接O2C 如图,已知⊙O1和⊙O2都过点A,AO1是⊙O2的切线,⊙O1叫O1O2于点B,连接AB并延长交⊙O2与点C.连接O2C 如图,已知圆O1和圆02是两个等圆,点P是O1O2的中点,过点P的直线分别交圆O1和圆02于点A,B,C,D,求证：A 如图,圆O1和圆O2是等圆,P是O1O2的中点,过P作直线AD交圆O1于点A、B,交圆O2于C、D,求证：AB=CD. 如图:圆心O1和圆心O2是等圆,p是O1O2的中点,过P做直线AD交圆心O1于A.B,交圆心O2于点C.D,求证AB等于如图，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，过点A的直线分别交两圆于点C、D，点M是CD的中点，直线BM分别交两圆于点E、F．如图,圆O1和圆O2是等圆,M是O1O2的中点,过M+作直线AD交圆O1于A,B,交圆O2于C,D,求证（1）AB=CD 已知圆O1与○2是等圆,点M是线段O1O2的中点,多点M作直线交○O1于点A、B,交○O2于点C、D.求证：AB=CD 如图,圆O1与圆O2是等圆,M是O1O2的中点,过M作直线AD交圆O1于A,B,交圆O2于C,D