作业帮高中数学 在线等 高手来 导数问题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 04:10:13
高中数学 在线等 高手来 导数问题
已知函数f(x)=1/3x^3+ax^2-bx,若y=f（x）在区间【-1.2】上市单调减函数,求a+b的最小值(图片上的是我的做法,和标准答案的不一样,标准答案是3/2)
（还补充一下,我的步骤里的a^2+b>9的下一步是b>9-a^2,没有拍出来不好意思）
已知函数f(x)=1/3x^3+ax^2-bx,若y=f（x）在区间【-1.2】上市单调减函数,求a+b的最小值(图片上的是我的做法,和标准答案的不一样,标准答案是3/2)
（还补充一下,我的步骤里的a^2+b>9的下一步是b>9-a^2,没有拍出来不好意思）
楼主你好,因为f'(x)=x^2+2ax-b,且y=f（x）在区间[-1,2]上单调递减,那么f'(x)在[-1,2]上肯定是小于等于0的,设f'(x)等于0的两个根是x1和x2,那么x1=2.楼主到此分析均完全正确,下面我先说明一下我接下来的做法：
x1+x2=-2a,x1*x2=-b,a+b=-x1*x2-x1/2-x2/2=-(x1+1/2)(x2+1/2)+1/4 (1),且x1+1/2=5/2 (3),所以-(x1+1/2)>=1/2 (4),(3)(4)这两个不等式左边都是大于0,右边也都是大于0,所以可以直接相乘,得到-(x1+1/2)(x2+1/2)>=1/2*5/2=5/4,带到(1)里面,就得到了a+b=-(x1+1/2)(x2+1/2)+1/4>=5/4+1/4=3/2,根据以上不等式取等号条件,可以得到：当a=-1/2,b=2取得等号.解毕.
楼主的主要问题是在得到a+b>=9/4+a-a^2=5/2-(a-1/2)^2后,就认为a+b>=5/2,其实不然,因为5/2是减去一个平方数而不是加上一个平方数的,因此,会有比5/2更小的值存在,做到这个地方发现无路可走的时候,建议楼主应该换一条思路.而且直接求方程的解并不是一个好办法,尽量多用维达公式会更加巧妙,节约时间.
再问： 你好，你的意思是说a+b>=9/4+a-a^2我应该求它的min而不是9/4+a-a^2的max对吧（因为5/2是它的max）。我还有一个问题就是既然a+b>=9/4+a-a^2恒成立，那么a+b不是应该等于9/4+a-a^2的最大值吗？
再答： 确实恒成立，但是你后面的那一项里面也有a，前面你要求的最小值里面也有a，就这么说吧，如果a变化了，左边的也会变化，右边的也会变化，那你怎么知道左边一定会小于右边呢。除非是左边不是a+b，而是另外一个变量c+b，那么肯定会有左边一定大于右边的最大值的。
x1+x2=-2a,x1*x2=-b,a+b=-x1*x2-x1/2-x2/2=-(x1+1/2)(x2+1/2)+1/4 (1),且x1+1/2=5/2 (3),所以-(x1+1/2)>=1/2 (4),(3)(4)这两个不等式左边都是大于0,右边也都是大于0,所以可以直接相乘,得到-(x1+1/2)(x2+1/2)>=1/2*5/2=5/4,带到(1)里面,就得到了a+b=-(x1+1/2)(x2+1/2)+1/4>=5/4+1/4=3/2,根据以上不等式取等号条件,可以得到：当a=-1/2,b=2取得等号.解毕.
楼主的主要问题是在得到a+b>=9/4+a-a^2=5/2-(a-1/2)^2后,就认为a+b>=5/2,其实不然,因为5/2是减去一个平方数而不是加上一个平方数的,因此,会有比5/2更小的值存在,做到这个地方发现无路可走的时候,建议楼主应该换一条思路.而且直接求方程的解并不是一个好办法,尽量多用维达公式会更加巧妙,节约时间.
再问： 你好，你的意思是说a+b>=9/4+a-a^2我应该求它的min而不是9/4+a-a^2的max对吧（因为5/2是它的max）。我还有一个问题就是既然a+b>=9/4+a-a^2恒成立，那么a+b不是应该等于9/4+a-a^2的最大值吗？
再答： 确实恒成立，但是你后面的那一项里面也有a，前面你要求的最小值里面也有a，就这么说吧，如果a变化了，左边的也会变化，右边的也会变化，那你怎么知道左边一定会小于右边呢。除非是左边不是a+b，而是另外一个变量c+b，那么肯定会有左边一定大于右边的最大值的。