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设f(x)=alog2^2x+blog4x^2+1(a、b为常数)且满足f(1/2)=0.当x>0时,F(x)=f(x)

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/10 00:34:55
设f(x)=alog2^2x+blog4x^2+1(a、b为常数)且满足f(1/2)=0.当x>0时,F(x)=f(x),且F(x)为R上的奇函数.a、b满足的关系时为a=b-1,
(1)若f(x)的最小值为0,求a,b的值.
(2)在(1)的条件下,求F(x)的表达式
f(x)=a(log2x)^2+blog4(x^2)+1
解:(1)因为f(x)=alog²2(x)+blog2(x)+1
令log2(x)=t所以原函数可以转化为h(t)=at²+bt+1
因为当x=1/2时t=log2(1/2)=-1
由f(1/2)=0可知h(-1)=0,所以a-b+1=0①
又因为h(t)是一个开口向上的二次函数,且h(t)min=0
所以h(t)的对称轴x=-b/2a=-1,即使b=2a②
由①②解得a=1 b=2
所以当x>0时F(x)=f(x)=log²2(x)+2log2(x)+1
因为F(X)是定义在R上的奇函数,所以F(0)=0
当x0的解析式)
所以F(x)=-log²2(-x)-2log2(-x)-1
所以F(x)=log²2(x)+2log2(x)+1(x>0).F(X)=0(x=0).F(x)=-log²2(-x)-2log2(-x)-1(x