如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E是PC的中点，AD=CD=1，DB=2

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/29 08:24:54

（I）证明：设AC∩BD=H，连结EH．
在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，
所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，
故EH∥PA．又EH⊂平面BDE，PA不包含于平面BDE，
所以PA∥平面BDE．
（II）证明：因为PD⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC．
由（I）得，DB⊥AC．
又PD∩DB=D，故AC⊥平面PBD．
（Ⅲ）由AC⊥平面PBD知，
BH为BC在平面PBD内的射影，
所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．
由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2
2，
得DH=CH=

2
2，BH=
3
2
2，BC=
5，
在Rt△BHC中，sin∠CBH=
CH
BC=

3
2
2

5=
3
10
10，
所以直线BC与平面PBD所成的角的正弦值为
3
10
10．