已知函数f(x)=|e^x-bx|,其中e为自然对数的底（1）当b=1时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/10 12:34:32

已知函数f(x)=|e^x-bx|,其中e为自然对数的底（1）当b=1时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程
（2）若函数f(x)只有一个零点,求实数b的取值范围（3）当b>0时,判断函数f(x)在区间（0,2）上是否存在极大值,若存在,求出极大值及相应实数b的取值范围

（1）记g(x)＝ex－bx．当b＝1时,g¢(x)＝ex－1．当x＞0时,g¢(x)＞0,所以g(x)在(0,＋∞)上为增函数．又g(0)＝1＞0,所以当x∈(0,＋∞)时,g(x)＞0．所以当x∈(0,＋∞)时,f(x)＝∣g(x)∣＝g(x),所以f¢(1)＝g¢(1)＝e－1．所以曲线y＝f(x)在点(1,e－1)处的切线方程为：y－(e－1)＝(e－1)(x－1),即y＝(e－1)x． ……………… 4分（（2）解法一 f(x)＝0同解于g(x)＝0,因此,只需g(x)＝0有且只有一个解．即方程ex－bx＝0有且只有一个解．因为x＝0不满足方程,所以方程同解于b＝． ………………………… 6分令h(x)＝,由h¢(x)＝＝0得x＝1．当x∈(1,＋∞)时,h¢(x)＞0,h(x)单调递增,h(x)∈(e,＋∞)；当x∈(0,1)时,h¢(x)＜0,h(x)单调递减,h(x)∈(e,＋∞)；所以当x∈(0,＋∞)时,方程b＝有且只有一解等价于b＝e．………… 8分当x∈(－∞,0)时,h(x)单调递减,且h(x)∈(－∞,0),从而方程b＝有且只有一解等价于b∈(－∞,0)．综上所述,b的取值范围为(－∞,0)∪{e}． …………………………… 10分解法二 f(x)＝0同解于g(x)＝0,因此,只需g(x)＝0有且只有一个解．即方程ex－bx＝0有且只有一个解,即ex＝bx有且只有一解．也即曲线y＝ex与直线y＝bx有且只有一个公共点． …………………… 6分如图1,当b＜0时,直线y＝bx与y＝ex总是有且只有一个公共点,满足要求． ………………………… 8分如图2,当b≥0时,直线y＝bx与y＝ex有且只有一个公共点,当且仅当直线y＝bx与曲线y＝ex相切．设切点为(x0,e),根据曲线y＝ex在x＝x0处的切线方程为：y－e＝e(x－x0)．把原点(0,0)代入得x0＝1,所以b＝e＝e．综上所述,b的取值范围为(－∞,0)∪{e}．
再问：不好意思啊，你没有图吗，而且ex－bx＝0是怎么算出来的？
再答： g(x)＝ex－bx 是f(x) 的导数 ex＝bx有且只有一解．也即曲线y＝ex与直线y＝bx有且只有一个公共点讨论当b＜0时，当b≥0时。。。。
再问：解法一 f(x)＝0同解于g(x)＝0，因此，只需g(x)＝0有且只有一个解．即方程ex－bx＝0有且只有一个解．因为x＝0不满足方程，所以方程同解于b＝． b=什么呀，h(x)=什么呀
再答： b=ex/x h(x)是 ex/x 的导数

已知函数f(x)=|e^x-bx|,其中e为自然对数的底 （1）当b=1时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程

已知函数f(x)=|e^x-bx|,其中e为自然对数的底（1）当b=1时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程