作业帮一道高数极限题,看看哪里错了,答案是1/（2e）
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/01 10:40:19
一道高数极限题,看看哪里错了,答案是1/（2e）
错在
本人来试试： 令 t = 1/x,于是被求极限的函数 f(x) = {[1/(1 + 1/x)]^x - 1/e}/(1/x) = {[1/(1+t)]^(1/t) - 1/e}/t = (1/e)*{e^[1 - ln(1+t)/t] - 1}/t,利用等价无穷小替换 e^u - 1 ~ u (u→0),并注意到 x→inf. <==> t→0,可得
g.e. = (1/e)* lim(t→0){e^[1 - ln(1+t)/t] - 1}/t = (1/e)* lim(t→0)[1 - ln(1+t)/t]/t = (1/e)* lim(t→0)[t - ln(1+t)]/t^2 (0/0,L'Hospital)
= (1/e)* lim(t→0)[1 - 1/(1+t)]/2t =1/2e.
再问： 你的解法是对的，但为什么我的解法不对呢？
再问： 为什么那里不能用重要极限替换
再问： 我知道了
再答： 可采纳否？
本人来试试： 令 t = 1/x,于是被求极限的函数 f(x) = {[1/(1 + 1/x)]^x - 1/e}/(1/x) = {[1/(1+t)]^(1/t) - 1/e}/t = (1/e)*{e^[1 - ln(1+t)/t] - 1}/t,利用等价无穷小替换 e^u - 1 ~ u (u→0),并注意到 x→inf. <==> t→0,可得g.e. = (1/e)* lim(t→0){e^[1 - ln(1+t)/t] - 1}/t = (1/e)* lim(t→0)[1 - ln(1+t)/t]/t = (1/e)* lim(t→0)[t - ln(1+t)]/t^2 (0/0,L'Hospital)
= (1/e)* lim(t→0)[1 - 1/(1+t)]/2t =1/2e.
再问： 你的解法是对的，但为什么我的解法不对呢？
再问： 为什么那里不能用重要极限替换
再问： 我知道了
再答： 可采纳否？