设三维向量α1,α2,α3线性无关,A是三阶矩阵

证:(1)反证.假如αs能由α1,α2,…αs-1线性表示由已知β可由向量组α1,α2,…αs线性表示所以β可由向量组α1,α2,…αs-1线性表示这与β不能由向量组α1,α2,…αs-1线性表示矛盾

证:由已知,α1,α2,α3,α4线性相关所以存在一组不全为0的数k1,k2,k3,k4,使得k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0.(下证k1,k2,k3,k4全不为0)假设k1=0.则k2α2

这个不要反证,直接证明就可以了.证明:设k1α1+k2(α1+α2)+k3(α1+α2+α3)=0.则（k1+k2+k3)α1+(k2+k3)α2+k3α3=0因为α1,α2,α3线性无关所以k1+k

因为α2,α3,α4线性无关所以α2,α3线性无关又因为α1,α2,α3线性相关所以α1可表示为α2,α3的线性组合所以α1可表示为α2,α3,α4的线性组合

如果是填空题目,建议用假设法3个向量分别是(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)然后AE=(1,2,30,2,30,3,-4)如果是大题目的话构造矩阵B=（a1,a2,a3）|AB|=|B(1,2

把条件写成A[α1,α2,α3]=[α1,α2,α3]B,其中B=100122113再把B对角化即可

设有数k1,k2,k3满足等式：k1(ā1-ā2-ā3)+k2(,ā2-ā3)+k3ā3=0则有k1α1+(k2-k1)a2+(k3-k2)a3=0,由于向量组a1ā2ā3线性无关,所以有k1=0,k

其实I能够被II表示,说明I的秩小于等于II的秩；若I线性无关,那么r=r(I)再问：谢了，挺好记的有个疑问：“其实I能够被II表示，说明I的秩小于等于II的秩”这个怎么证的啊？再答：从直观理解上来说

由已知(β1,β2...βn)=(α1,α2,.αn)KK=100...1110...0011...0.000...1因为α1,α2,.αn线性无关所以r(β1,β2...βn)=r(K)因为|K|=

（Aα1,Aα2,Aα3）＝A﹙(α1,α2,α3)秩（Aα1,Aα2,Aα3）＝秩[A﹙(α1,α2,α3)]≤秩(α1,α2,α3)

第一个.不论k是什么都线性无关.第二个,k=0,线性相关,其余线性无关再问：为什么第一个是线性无关的呢再答：第一个b2不能表示啊，，一定线性无关了。。。。再问：就是说β2不能表示，kβ1+β2也不能表

本体有特殊性,可以写出从α到β的系数行列式,由于α是线性无关的,故只需要系数行列式不为零,β就无关,否则相关.再问：首先谢谢哈其次再问一下给的向量组是无关的那么系数行列式不等0β就无关那要是给的向量组

A=（α1,α2,α3）B=（α1+α3,α2+α3,α3）则B=AKK=100010111｜K｜=1,所以K可逆,从而A与B的秩相等因为α1,α2,α3线性无关,所以A的秩为3从而B的秩也为3,从而

(1)能.由已知α2,...,αn线性无关所以α2,...,αn-1线性无关.[整体无关则部分无关]再由已知α1,α2,...,αn-1线性相关所以α1能由α2,α3,...,αn-1线性表示.[线性

设b1=a1-a2-2a3,b2=a2-a3,b3=a3,因此b1、b2、b3可以用a1、a2、a3线性表出,而a3=b3,a2=(a2-a3)+a3=b2+b3,a1=(a1-a2-2a3)+(a2

由于向量组α1,α2,…,αn线性无关,故k1α1+k2α2+...+knαn=0,则k1=k2=.=kn=0,又因为β,α1,α2,…,αn线性相关,有kβ+r1α1+r2α2+.+rnαn=0,且

（I）由已知得：A（α1+α2+α3）=2（α1+α2+α3），A（α2-α1）=-（α2-α1），A（α3-α1）=-（α3-α1），又因为α1，α2，α3线性无关，所以α1+α2+α3≠0，α2-

1.假设αr可由α1,α2,.,αr-1线性表出,则αr=k1α1+k2kα2+…+kr-1αr-1由条件知β=P1α1+P2α2+…+Prαr∴β=P1α1+P2α2+…+Pr(k1α1+k2kα2

答:α1,α2,α3,β线性无关.设k1α1+k2α2+k3α3+kβ=0等式两边对β取内积,由已知(αi,β)=0,得k(β,β)=0又由β≠0,故(β,β)≠0,所以k=0所以k1α1+k2α2+

不能.反证.因为α2α3α4线性无关所以α2α3线性无关又因为α1α2α3线性相关所以α1可由α2α3线性表示假如α4能由α1α2α3线性表示则α4能由α2α3线性表示这与α2α3α4线性无关矛盾.