数论竞赛类设a,b,c,d为正整数,求证a的4b+d次方-a的4c+d次方被240整除

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/11 21:06:53

数论竞赛类
设a,b,c,d为正整数,求证a的4b+d次方-a的4c+d次方被240整除

240=16*3*5=2^4*3*5.
只需要证明a^(4b+d)-a^(4c+d)含有因子3,5,2^4(即16).
如果b=c,结论显然成立.
不妨设b>c,且b=c+e（e为正整数）,
则a^(4b+d)-a^(4c+d)=a^(4c+d)[a^(4e)-1].
1）先考虑因子3,
如果a模3余数为0,则a^(4c+d)含有因子3,结论成立.
如果a模3余数为1或2,那么a^2模3余数为1,得出a^(4e)模3余数1,
因此a^(4e)-1模3余数为0,结论也成立
2）考虑因子5,
如果a模5余数为0,则a^(4c+d)含有因子5,结论成立.
如果a模5余数为1,2,3,或4,那么a^2模5余数为1或4,得出a^(4)模5余数1,得出a^(4e)模5余数1,
因此a^(4e)-1模5余数为0,结论也成立
3）先考虑因子16,
如果a模2余数为0,则a^4含有因子16,a^(4c+d)含有因子16,结论成立.
如果a模2余数为1,令f=a^e=2k+1为奇数.
a^(4e)-1=f^4-1=（f^2+1）(f+1)(f-1)=4（f^2+1）k(k+1)
显然f^2+1含有因子2,k(k+1)含有因子2,
所以a^(4e)-1含有因子16,结论也成立
综合1）2）3）a^(4b+d)-a^(4c+d)含有因子240,问题得证

a,b,c,d为正整数,a的5次方等于b的4次方,c的3次方等于d的2次方,c-a=19,求d-b=? 已知a,b,c,d为正有理数,且满足a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd.求证：a=b=c=d 设abcd都是正整数并且a的五次方=b的4次方 c³=d² c-a=19求d-b的值这是第11届希望杯的试题：1）.设a,b,c,d为正整数,且a的7次方等于b的6次方,c的3次方等于d的2次方,c-a= 设a,b,c,d为正数,求证(a+c/a+b)+（b+d/b+c）+（c+a/c+d)+(d+b/d+a)≥4 设c为正整数,并且a+b=c,b+c=d,d+a=b,求(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)的最小值设a,b,c,d都是自然数,且a的5次方=b的4次方,c的3次方=d的2次方,c减a=19,d-b是多少已知a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd,且a.b.c.d均为正数,试判断以a,b,c,d为边的四 a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除已知;A,B,C,D是自然数.A的6次方等于B的4次方,C的3次方等于D的2次方,A减去C等于19.求D减去B等于多少已知a b c d均为正整数,且a^5=b^4,c^3=d^2,a-c=65,求b-d的值不等式设ABCD为不全相等的正数求证 B/A+C/B+D/C+A/D大于16