作业帮请问各位一道双曲线的参数方程题,麻烦前辈高人们帮忙看下~
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/11 13:46:35
请问各位一道双曲线的参数方程题,麻烦前辈高人们帮忙看下~
问题为：设P为等轴双曲线x^2-y^2=1上的一点,F1和F2为两个焦点,证明：
|F1P|·|F2P|=|OP|^2.
下面是我的证明过程：
设双曲线的参数方程为x=secθ,y=tanθ；已知该曲线的两个焦点分别为(-√2,0),(√2,0)；
因此有,|F1P|^2=(secθ+√2)^2+tan^2θ=[(√2)secθ+1]^2
|F2P|^2=(secθ -√2)^2+tan^2θ=[(√2)secθ-1]^2
而,|F1P|^2· |F2P|^2=[(√2)secθ+1]^2·[(√2)secθ-1]^2
=(2sec^2θ-1)^2
=(sec^2θ+tan^2θ)^2=(|OP|^2)^2
请问在进行到这步时,角θ会不会在双曲线中有一定的限制,从而导致F1P|·|F2P|=±|OP|^2
这种情况呢?
问题为：设P为等轴双曲线x^2-y^2=1上的一点,F1和F2为两个焦点,证明：
|F1P|·|F2P|=|OP|^2.
下面是我的证明过程：
设双曲线的参数方程为x=secθ,y=tanθ；已知该曲线的两个焦点分别为(-√2,0),(√2,0)；
因此有,|F1P|^2=(secθ+√2)^2+tan^2θ=[(√2)secθ+1]^2
|F2P|^2=(secθ -√2)^2+tan^2θ=[(√2)secθ-1]^2
而,|F1P|^2· |F2P|^2=[(√2)secθ+1]^2·[(√2)secθ-1]^2
=(2sec^2θ-1)^2
=(sec^2θ+tan^2θ)^2=(|OP|^2)^2
请问在进行到这步时,角θ会不会在双曲线中有一定的限制,从而导致F1P|·|F2P|=±|OP|^2
这种情况呢?
角θ是有限制的,就是要使x,y都有意义,而且由于secθ,与tanθ都是周期函数,所以通常都只取其一周期内的数考虑即可.这里θ的一个周期内的区间为：[0,2π),且θ≠ π /2,3π /2
这里不影响你证明中的推导.距离值也不可能是负值.
这里不影响你证明中的推导.距离值也不可能是负值.
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