作业帮高中一道立体几何,这个建坐标系解貌似很困难
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/02 23:30:23
高中一道立体几何,这个建坐标系解貌似很困难
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,各条棱均相等,E在侧棱CC1上,D在棱A1B1上,且△BDE为等边三角形,求二面角D-BE-C的度数
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,各条棱均相等,E在侧棱CC1上,D在棱A1B1上,且△BDE为等边三角形,求二面角D-BE-C的度数
过D作DH⊥B1C1,垂足为H,再取BE中点G,连DG,HG
因为面A1B1C1⊥面BCC1B1,所以DH⊥面BCC1B1,从而DH⊥BE.
因为△BDE为等边三角形,所以DG⊥BE,
于是∠DGH是二面角D-BE-B1的平面角.
设各棱长为a,DB1=x,连DC1,显然DC1⊥C1E
易证EC=DB1=x,EC1=a-x
所以DE^2-EC1^2=DC1^2
即DB^2-EC1^2=DB1^2+B1C1^2-2*DB1*B1C1cos60°
(x^2+a^2)-(a-x)^2= x^2 +a^2-2*x*a/2
x^2+a^2=3ax,(x/a)^2-3(x/a)+1=0
x/a=(3-√5)/2 (∵x<a, ∴x/a= (3+√5)/2舍去)
∵DG=BD*√3/2, DH=DB1*√3/2
∴tan∠DGH=DH/DG= DB1/BD=x/a =(3-√5)/2
所以 ∠DGH=arc tan (3-√5)/2
故二面角D-BE-C的大小为 π-arc tan (3-√5)/2
再问： 要求的那个二面角是个度数
再答： 是个度数？特殊值吗，我哪里错了？再好好看看，可以将π-arc tan (3-√5)/2化成近似值度数的，大约159度。 不好意思，最后部分没写好，更正如下 ∵DG=BD*√3/2， DH=DB1*√3/2,∴RtΔDB1B∽RtΔDHG ∴tan∠DGH=DH/HG= DB1/B1B=x/a =(3-√5)/2 所以 ∠DGH=arc tan (3-√5)/2 二面角D-BE-B1的大小为 tan (3-√5)/2 二面角D-BE-B1和所求的二面角D-BE-C是互补关系， 故二面角D-BE-C的大小为 π-arc tan (3-√5)/2 ≈159°
因为面A1B1C1⊥面BCC1B1,所以DH⊥面BCC1B1,从而DH⊥BE.
因为△BDE为等边三角形,所以DG⊥BE,
于是∠DGH是二面角D-BE-B1的平面角.
设各棱长为a,DB1=x,连DC1,显然DC1⊥C1E
易证EC=DB1=x,EC1=a-x
所以DE^2-EC1^2=DC1^2
即DB^2-EC1^2=DB1^2+B1C1^2-2*DB1*B1C1cos60°
(x^2+a^2)-(a-x)^2= x^2 +a^2-2*x*a/2
x^2+a^2=3ax,(x/a)^2-3(x/a)+1=0
x/a=(3-√5)/2 (∵x<a, ∴x/a= (3+√5)/2舍去)
∵DG=BD*√3/2, DH=DB1*√3/2
∴tan∠DGH=DH/DG= DB1/BD=x/a =(3-√5)/2
所以 ∠DGH=arc tan (3-√5)/2
故二面角D-BE-C的大小为 π-arc tan (3-√5)/2
再问： 要求的那个二面角是个度数
再答： 是个度数？特殊值吗，我哪里错了？再好好看看，可以将π-arc tan (3-√5)/2化成近似值度数的，大约159度。 不好意思，最后部分没写好，更正如下 ∵DG=BD*√3/2， DH=DB1*√3/2,∴RtΔDB1B∽RtΔDHG ∴tan∠DGH=DH/HG= DB1/B1B=x/a =(3-√5)/2 所以 ∠DGH=arc tan (3-√5)/2 二面角D-BE-B1的大小为 tan (3-√5)/2 二面角D-BE-B1和所求的二面角D-BE-C是互补关系， 故二面角D-BE-C的大小为 π-arc tan (3-√5)/2 ≈159°